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文章阅读:Re: 考考大家, 华儿街经典考题, 答对的有奖励:))))))))
[同主题阅读] [版面: 三藩市地区] [作者:lyzhang01] , 2006年11月09日03:59:27
lyzhang01
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发信人: lyzhang01 (lyzhang), 信区: SanFrancisco
标  题: Re: 考考大家, 华儿街经典考题, 答对的有奖励:))))))))
发信站: BBS 未名空间站 (Thu Nov  9 03:59:27 2006)

刚看到,是真正的物质奖励,我离三藩太远了,能用包子代替么?

第一个问题,我就不算了。
第三个问题,三个人一起猜硬币,如果都猜对或者都猜错,就重新来,有人猜对,有人
猜错,那就猜错被淘汰,直到剩一个人。fair game,肯定每人机会相同。

第二个问题,要具体讨论一下。

简单言之,就是,如果狱卒有权利选择给不给犯人提示信息,那就是个博弈论问题,取
决于狱卒的动机和犯人对狱卒动机的猜测。

如果狱卒必须打开一个门,给犯人提示信息。
那取决于,狱卒是不是事先知道哪个门是美女。如果不知道,只是随机打开一个门,碰
巧是老虎,那么换不换一样,各1/2。但如果狱卒事先具有充分信息,直到结果,那么
他因为不能打开有美女的门,那么他打开门的选择具有了倾向性。所以这个后另一个门
的概率上升到2/3,换更有利。

总之换,反正不会吃亏。


具体的数学计算,这是我以前写的,问题不一样,但意思相同,如果有兴趣,可以看看。

囚徒问题

有三个囚徒,A,B,C等待判决,国王宣布,他们中的一个人将会被赦免,另两个将会
被处决。在执行的前夜,A很希望能够知道自己的命运,于是询问监狱长W,监狱长W虽
然知道结果,但按照规定不能提前告诉犯人。W想了一下,就告诉了A,B将一定会被处
决。A听了很高兴,因为他认为B一定被处决,所以自己获释的概率就由1/3上升到了1/2
。但W认为结果并没有改变,A被处决的概率还是1/3,请问W和A谁想的有道理?

这个题目是一个可以用来比较好的理解条件概率概念的问题。首先简单介绍一下条件概
率的一些符号规定和几个基本结论。现有A,B两个事件,

P(A)是A事件发生的概率
P(B)是B事件发生的概率
P(A,B)是A,B事件同时发生的概率
P(A | B)是已知B发生的情况下,A发生的概率
P(B | A)是已知A发生的情况下,B发生的概率
P(A,B)=P(A | B)*P(B)=P(B | A)*P(A)
P(A | B)=P(A,B)/P(B)
P(B | A)=P(A,B)/P(A)

我们现在用以上的定义和公式来解决这个问题
P(W say B executed)
=P(W say B | A pardoned)*P(A pardoned)+P(W say B | B pardoned)*P(B pardoned)
+P(W say B | C pardoned)*P(C pardoned)
=1/2*1/3+0*1/3+1*1/3=1/2

P(A pardoned | W say B executed)
=P(A pardoned,W say B)/P(W say B)
=P(W say B | A pardoned)*P(A pardoned)/P(W say B)
=(1/2*1/3) / (1/2)=1/3

所以当已知W说B肯定被处决的情况下,A被赦免的概率依然是1/3,而与此同时C被赦免
的概率却上升到了2/3,结果依然归一,我们来证明这一点。

P(C pardoned | W say B executed)
=P(C pardoned, W say B)/P(W say  B)
=P(W say B | C pardoned)*P(C pardoned)/P(W say B)
=(1*1/3) / (1/2)
=2/3

值得注意的是,在这个题目里面P(W say B)指的是W说B被处决的概率,并不真的是B被
处决的概率。
另外一点值得注意的是,W say B是指W say B was executed to A,是对A说的,之所
以排除掉B之后,A和C的概率并不是50%对50%的原因是,W对A说的话是有选择的,W只能
在B和C中选出一个。而P(W say B | A pardoned)=1/2,P(W say B | C pardoned)=1,
两者并不相等,也就是说A和C的对称性在这里已经被破坏掉了。

所以我们说A被赦免的概率并没有上升,但A也并不是没有获得新的信息,他获得的新信
息就是C被赦免的概率上升到了2/3。这个时候,如果我们说三个人是抽签,一个人会被
赦免,此时A如果有一个权力可以和C换签,那么我们认为,A决定换是更加有利的。

这样我们就归结到了以前讨论过的那个卡片问题,三个卡片中有一个卡片上画了汽车,
两张空白,如果抽到画有汽车的卡片,就可以获得一辆汽车,游戏者上去抽取了第一张
,还没有翻开,此时主持人走上来翻开了第三张,第三张上是空白卡片。主持人问游戏
者想不想换第二张卡片。此时,游戏者应该问主持人两个问题,第一,主持人是不是事
先已经知道了三张中哪一张是汽车,第二,这个游戏的规则是不是早就设计好了,当游
戏者选取了一张之后,主持人就上来翻开一张不是汽车的卡片。如果两个问题的回答都
是肯定的话,主持人事先知道全部信息,并且主持人一定会上来翻开一张卡片,那么,
我们说此时,第二张卡片是汽车的的概率上升到了2/3,因为我们从主持人那里获得了
新的信息,第一张卡片和第二张卡片的对称性已经被破坏了,我们应该换到第二张卡片。

另外,因为此时游戏规则已经完全确定了,主持人的主观意志已经没有任何影响,所以
这个游戏就变成了一个纯粹的概率问题,而非博弈论问题了。但如果游戏规则并不要求
主持人中途翻开一张卡片,而是取决于主持人自己,那么,游戏就是一个博弈论问题了
。因为我们并不知道主持人是不是希望你获得奖品,并且,我们要对主持人的智力水平
进行猜测,有可能主持人会利用以上的概率设置陷阱来引诱你掉入陷阱,当然我们也可
以反其道来利用这一点,但一切都取决于我们能不能对主持人的意图和主持人的智力水
平有一个正确的评估了,当然与此同时主持人也在对游戏者的智力水平进行着评估,两
者形成了博弈。


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※ 修改:·lyzhang01 於 Nov  9 04:03:16 2006 修改本文·[FROM: 76.171.]
※ 修改:·lyzhang01 於 Nov  9 04:07:38 2006 修改本文·[FROM: 76.171.]
※ 来源:·BBS 未名空间站 http://mitbbs.com·[FROM: 76.171.]

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